第4回「線形独立の同値条件を探して…」

どうも、ズッキーです。

私の専門が数学っていうことで、今日は、大学数学に関する投稿になります。

具体的にはタイトルからも分かるとおり、「線形独立の同値条件」です。定義としては例えばこんな感じです。↓

２次のベクトルa, bが線形独立である　⇔　sa + tb = 0 を満たす s, t が s = t = 0 のみ

※あらかじめ「例えば」って断った理由は、今回は２次のベクトル２つに関して線形独立かどうかっていうのを定義しましたが、次数やベクトルの個数は場面によって変わってくるからです。３次のベクトル２つが線形独立か、４次のベクトル６つが線形独立かっていうことも同じようにして考えることが出来ます。

今回調べたかったことは、「線形独立かどうかを判定するときに、実際に上の例の様な方程式を解くより効率的な方法がないか」ということです。まあ実際他にも方法があるんですけど、それではなく全く新しい方法を探そうと思いました。

で、前々から予想はしていたんですけど、とある方法を思いつきました。

で、その方法が正しいかどうかを証明しました。（先に言っておきますが、この証明間違っています。）その方法と証明を書いたのがこちらです↓

具体的に間違っている箇所は２枚目になります。簡約化したものについて、

Pxi = ei

が常に成り立つとは限りません。

具体的な反例は、例えば a = (1, 0, 0), b = (0, 0, 1), c = (1, 0, 0) とすると、示した命題の右辺は満足するんですけど、この３つの３次ベクトルは線形独立じゃありません。

これに気づいてまあ改めて「こうじゃないか」という新たな方法を考えたんですけど、結局面倒だなという方法であり、最終的に落ち着いた結論なんですけど、

新しい方法を探すのはやめよう！

と感じました。

まあ最終的に自分なりに結論が出て、これはこれで良かったのかなと思います。

変なブログになってしまい申し訳ないです・・・。

数学に関するブログはこれからも書いていこうと思いますが、まあメインは日記とかそういう感じのネタにしたいと思います。

では、また次回の投稿まで。